Nació en el valle de Aramayona (Álava). Desde 1786 trabajó en el ramo de la cantería en la casa de la Real Aduana de Orduña (Vizcaya) bajo la dirección de Manuel Martín Carrera. Este director nombrado por el Rey certificó que Garay había trabajado durante dieciocho años en otras obras de cantería y ocho como aparejador, datos que Juan Bautista de Aguirre corroboró en un certificado fechado el 23 de enero de 1796, cuando Garay solicitó de la Academia su admisión a los ejercicios para la clase de maestro de obras. 
El 17 de febrero de 1796 solicitó de la corporación académica su admisión a los ejercicios para la clase de maestro de obras, presentando la certificación de su maestro Manuel Martín Carrera, director nombrado por el Rey que atestiguó los trabajos realizados por Garay durante dieciocho años en obras de cantería y ocho como aparejador, así como el certificado de Juan Bautista de Aguirre, quien constató dichos trabajos el 23 de enero de 1796. 
Fue admitido a los ejercicios correspondientes a esta clase en la Junta Ordinaria del 6 de marzo antes de abolirse el título por real orden, momento en el que se le dio como asunto a desarrollar: «En un Sitio de 60 ps de latitud por 120 de longitud, disponer una Casa de Arrendamto de las regulares de Madrid, que conste de dos cuartos bajos, dos principales y dos segundos, su fachada la menor linea. Plantas y Alzados» (del A-1408 al A-1411). Acompañó dichos dibujos junto con «el modelo de Un arco de Cantería, por tranquil de 15. ps de diámetro, la escala para este seria cada un pie de la magnitud de dos dedos castellanos» (A-1412). 
No tuvo concluidos los ejercicios hasta el 1 de agosto de 1800, es decir, cuatro años más tarde, de ahí que la Junta Extraordinaria reunida el 26 de agosto de 1800 conformada por los vocales Pedro Arnal, Rodríguez, Casanova, Varas y Bosarte, este último en calidad de secretario, reconociese los planos, el modelo de yeso y el informe facultativo que había trabajado. Estos profesores le formularon varias preguntas acerca de las pruebas trabajadas y las partes más importantes de la profesión. Satisfechos los examinadores con las obras realizadas y las contestaciones dadas a las preguntas formuladas le hallaron hábil para ostentar el título de maestro de obras, grado que le fue concedido en la Junta Ordinaria del 7 de septiembre de 1800.
Cuatro años más tarde se ocupó del proyecto de un hospital a extramuros de la ciudad de Vitoria, para cuyo fin diseñó tres planos que remitió a la Academia para su censura. La Comisión de Arquitectura los examinó y aprobó en todas sus partes en la Junta del 1 de febrero de 1804, siendo aprobados finalmente por la corporación el 5 de este mismo mes.
Al año siguiente, llegaron a informe otros tantos dibujos, entre ellos, tres sin firma de autor y uno de Garay relativos a la construcción de una nueva caja de órgano para la Santa Iglesia Catedral de Burgos arreglados a las dimensiones que previamente había dado el organero. El dibujo de Garay fue aprobado por la Comisión de Arquitectura el 31 de octubre de 1805, no sin antes advertirle al autor que suprimiese «los trigliflos del primer cuerpo del órgano, como también la escultura de los tres intercolumnios sobre los caños, dexando abierto el espacio qe resulte entre estos y el arquitrave: y que los genios que hay en los extremos sobre el cornisamento se coloquen en correspondencia de las pilastras del medio y agruparán mejor con la medalla y demas adorno de la conclusión». Asimismo, la Comisión de Arquitectura del 4 de septiembre de 1806 le aprobó el diseño de la torre de nueva planta para la iglesia parroquial de la villa de Ascarza (Burgos).
En 1807 remitió otros tres diseños, en esta ocasión los del teatro de representaciones para la ciudad de Vitoria que debía ubicarse en el hospital viejo de Santiago, así como una alhóndiga contigua a él, sin embargo, la Comisión de Arquitectura los reprobó el 3 de diciembre de 1807 porque «la forma mixtilinea de la planta interior del teatro no es la que corresponde á este edificio: el tetrastilos de la fachada está de mas, y lo restante de ella carece de buenas proporciones».
El 16 de noviembre de 1815 elaboró el informe sobre el estado en que se encontraba el convento e iglesia del Carmen Descalzo de la ciudad de Logroño, cuyo encargo le venía dado de orden del prior del convento. El edificio se encontraba arruinado y demolido por las tropas enemigas francesas, quedando tan sólo algunas paredes en pie con sus cimientos a la altura del piso principal y otras más bajas. Tras hacer el reconocimiento del edificio, formó los diseños en borrador que ahora presentaba, teniendo presente el aprovechamiento al máximo de los cimientos y paredes existentes, describiendo las obras de la siguiente manera: «Primeramente se limpiaran bien los Cimientos viejos y se pondrá todo a un nivel, en seguida se habrirán y mazizarán las nuevas zepas trabando con lo que exista hasta la altura de las paredes viejas de buena mezcla de cal mamposteria teniendo hecha la mezcla de antemano con una tercera parte de cal, y dos de Arena: Despues que pase algun tiempo y las nuevas Cepas hayan hecho el competente cuerpo se hechará todo alrededor del templo dos iladas de Piedra silleria dexando las endejas para atar con las paredes del Convento: en seguida se levantará todo el Templo por iguales partes hasta la Cornisa interior siendo de Piedra silleria todos los angulos entrantes y salientes como tambien la Fachada principal, Arcos y Altares de las Capillas: puesto que se halla cerca buena Piedra y facil de labrar por ser de un grano solido, suave y limpio, teniendo cuidado que sus lechos ò asientos vayan a esquadra y sentados à torta de mezcla de la fina, bien aplomo nivel y lineas; hallandose en este estado y hechada la cornisa esterior de las Capillas, y levantado la Pared hasta el nivel de la Cornisa interior, se formará esta de ladrillo fino y yeso en tosco: a continuacion estando presentadas las cimbras se construirán los Arcos torales y Arcos principales de rosca de ladrillo y yeso, siendo el resto de vobedas de tavicado doble del mismo material: levantando al mismo tiempo las paredes exteriores, coronando con la cornisa de Piedra; enrrasando que sea hasta la altura de la Cornisa general se atirantará sobre correas ò soleras que se pondrán sobre nudillos empalmadas à cola de milano: sobre los tirantes se correrá el estrivo donde embarbillarán los pares de armadura que será de parirela de quatro y cinco: sobre los pares se entablará con tablas de ripia, elevada en todos los pares ensolapada que forme una especie de escalera para contener mejor à la teja y cascotado: la teja se sentará à torta y lomo reciviendo las voquillas». 
A continuación, explicó la construcción del convento, cuyos primeros pasos respecto a las cimentaciones y paredes era similar a los de la iglesia. Las paredes concluirían en una imposta general a cuya altura se echaría «el suelo del piso principal sobre carreras, o soleras sentadas sobre nudillos distribuyendo los maderos del suelo a una distancia proporcionada siendo la madera enteriza y de pino, para luego forjar todo el piso enunciado: luego que esté todo el piso principal enrrasado y hechada toda la emposta general se construirá el segundo cuerpo teniendo cuidado en la trabazon y atizonamiento concluyendo con una cornisa general de Piedra silleria en lo interior hechado que sea el segundo piso se formará la armadura para el texado parte de ella de par y picadero y el resto de parilera embarbillado en estribo, siendo estos los mas largo posible bien elevados con estaquillas que pasen los maderos de suelo y agarren en la carrera; En cuanto a la cubierta y tejado se guardará el mismo orden qe lo referido pª el templo; y hallandose todo el Edificio en este estado se forjarán los pisos, se harán las bajadas de Aguas limpias, y puercas, se construirán las escaleras, se forrarán las Paredes de Yeso negro, maestrando primero: Se harán los embaldosados, è igualmente los empedrados; se sentarán todas las verjas y Rejas, Puertas y Ventas, y por ultimo se concluirá con un blanqueo general».
La Junta de la Comisión de Arquitectura celebrada el 31 de enero de 1816 examinó los tres diseños en plan general, plantas y alzados, y comunicó a Garay que remitiese los dibujos en limpio en el mismo tamaño que los ejecutados en borrador y presentase tanto unos como otros para ser cotejados, debiéndolos acompañar del informe facultativos y el calculo del coste que tendrían las obras. 
Las condiciones y el calculo detallado de la iglesia y el convento hecho por separado, junto con los tres dibujos en limpio del plan general, las plantas baja y principal, la fachada y el corte del convento e iglesia los tuvo concluidos el 22 de octubre de 1816. Todo ello fue remitido, examinado y aprobado por la Comisión de Arquitectura el 30 de octubre de 1816 y por la Academia el 10 de noviembre de ese mismo año; no obstante, la misma orden religiosa le encargaría dos años más tarde la ampliación de la iglesia en 9 pies para hacer tres capillas iguales en cada costado y aumentar la capacidad del templo sin alterar los alzados aprobados anteriormente.  Este es el motivo por el que el 28 de febrero de 1818 solicitó de la Academia la concesión del permiso pertinente para poder proceder a estas nuevas obras, cuya petición le sería concedida por la Comisión de Arquitectura el 1 de abril de 1818 y por la Academia en la Junta Ordinaria del 12 del mismo, siempre que no alterase los alzados, el orden y la decoración que mantenía el plan aprobado.
Durante 1817 su nombre volvió a reseñarse en las juntas académicas con motivo de la exposición hecha por el corregidor de Logroño, José Pérez Rozas, a la Academia sobre no haber dado permiso para colocar la imagen de Nª. Sª. del Carmen y celebrar sus funciones en un oratorio provincial que sin dirección de un profesor aprobado habían ejecutado los Padres Carmelitas Descalzos de esa ciudad. Como se dudaba de la solidez de la obra hasta no ser reconocida por peritos expertos, se comisionó para este objeto a Mateo de Garay, maestro que realizaría con éxito los trabajos reglamentarios para la seguridad pública. Al mismo tiempo, el corregidor aprovechó la ocasión para exponer que no se permitiese la construcción de las obras públicas sin la competente aprobación y bajo la dirección de maestros aprobados, exposición que la Comisión de Arquitectura reunida el 29 de abril no pudo por menos de elogiar.
Tras largos años de profesión, solicitó de la Academia el 28 de febrero de 1818 su admisión a los ejercicios para el grado de maestro arquitecto, a cuyo objeto expuso varias obras que había ejecutado hasta esos momentos, entre ellas el nuevo hospital de la ciudad de Vitoria cuyo proyecto había sido aprobado por la corporación académica el 5 de febrero de 1804 y la nueva caja de órgano de la Santa Iglesia Catedral de Burgos, igualmente aprobada el 10 de noviembre de 1805; la torre de la iglesia de Ascarza (Burgos), diseños aprobados el 26 de diciembre de 1806, así como el levantamiento del nuevo convento e iglesia de Religiosos Carmelitas Descalzos de Logroño, que lo habían sido el 4 de agosto de 1816. Respecto a esta última obra, se vieron nuevos planos en borrador el 31 de enero de 1816 y los definitivos el 10 de noviembre de 1816. Al listado de sus obras añadió la casa de misericordia para recogimiento y educación de pobres en la misma ciudad, cuyo coste había calculado en 2.12000 reales de vellón, censurada por la Comisión de Arquitectura el 4 de febrero y por la Academia el 8 de febrero de 1818, como la dirección de la nueva iglesia que se estaba ejecutando en el valle de Aramayona (Álava), bajo los diseños aprobados en la Junta Ordinaria del 7 de febrero de 1802. 
Aparte de esta exposición, presentó como prueba de pensado el proyecto de una «Casa provincial de esta M.N. y M.L. Provincia de Alava, executando en esta Ciudad de Vitoria por ser Capital de la misma Provincia, en la qual reside el Diputado General de ella, con todos sus Dependientes, oficinas y demás», con su correspondiente informe facultativo y el avance del presupuesto de la obra calculada en 306. 235 reales y 16 maravedíes. La Junta de la Comisión de Arquitectura celebrada el 1 de abril de 1818 examinó la obra y los documentos aportados, acordando el pase del pretendiente al resto de los ejercicios de reglamento. Fue admitido en la Junta Ordinaria del 12 de este mismo mes, pero el 23 de mayo Garay hizo saber a la corporación que tras regresar de una larga ausencia se había enterado de su admisión, por lo que a la mayor brevedad posible se pondría en camino hacia Madrid a fin de realizar el resto de los ejercicios de reglamento según se hallaba establecido en la Real Orden del 29 de julio de 1801. 
Garay nunca llegó a elaborar la prueba de repente ni el examen teórico al sobrevenirle la muerte, pero antes de fallecer pudo trabajar tres planos para la construcción de un puente y una fuente en las inmediaciones de la villa de San Vicente de la Sonsierra (Navarra), actualmente ocupada por las tierras de la Rioja Alavesa, cuyas obras había calculado en 85.000 reales de vellón. Dicho proyecto sería censurado y aprobado por la Comisión de Arquitectura el 16 de febrero de 1819.  

Arquitectura. Conventos, 1778-1816. Sig. 2-32-1; Arquitectura. Hospitales y Orfanatos. Siglos XVIII y XIX. Sig. 2-29-5; Arquitectura. Plazas, mercados y plazas de toros, 1778-1852. Sig. 2-28-6; Arquitectura. Puentes, 1795- 1820. Sig. 2-31-9bis; Comisión de Arquitectura. Arquitectos, 1815-1818. Sig. 4-68-9; Comisión de Arquitectura. Informes, 1804. Sig. 1-29-1; Comisión de Arquitectura. Informes, 1805. Sig. 1-29-2; Comisión de Arquitectura. Informes, 1806. Sig. 1-29-3; Comisión de Arquitectura. Informes, 1807. Sig. 1-29-4; Comisión de Arquitectura. Informes, 1808-1822- Sig. 1-29-5; Comisión de  Arquitectura. Maestros de Obras, 1789-1845. Sig. 2-23-5; Comisión de Arquitectura. Maestros de Obras, 1795-1803. Sig.  2-15-6; Libro de actas de juntas ordinarias, generales y públicas, 1795-1802. Sig. 3-86; Libro de actas de juntas ordinarias, generales y públicas, 1803-1818. Sig. 3-87.

Silvia Arbaiza Blanco-Soler
Profesor TU de la UPM