Hijo de Manuel de Machaín y María Agustina de Errazquín, nació en Ordizia, antiguamente Villafranca de Oria (Guipúzcoa) el 29 de junio de 1805, siendo bautizado al día siguiente en la iglesia parroquial de Santa María de la Asunción. Después de terminar los estudios secundarios en la Universidad guipuzcoana de Oñate siguió la carrera de arquitectura bajo la dirección de Pedro Manuel de Ugartemendía, arquitecto mayor de la Provincia y de la ciudad de San Sebastián. Estuvo bajo su dirección hasta el levantamiento de las Provincias Vascongadas, acontecimiento que le llevó a separarse de su familia al no tomar parte en él y trasladarse a Madrid a fin de continuar sus estudios.

Durante algunos años residió en la calle de San Antón, nº 33, cuarto 3º (Madrid) y trabajó bajo las órdenes del académico de mérito Juan de Blas Molinero, con quien se aplicó en la teoría y práctica de la arquitectura civil asistiendo a cuantas operaciones y obras estaban a cargo del maestro, ejercitándose al mismo tiempo en la medición y tasación de edificio, el levantamiento de planos, el examen de los materiales y los métodos de construcción.

El 12 de diciembre de 1840 solicitó de la Academia de San Fernando su admisión a los ejercicios para la clase de maestro arquitecto, presentando como prueba de pensado el proyecto de «Un hospital general» con su informe facultativo y el avance del coste de la obra, la partida de bautismo, la certificación de práctica librada por Juan de Blas Molinero y la justificación de su conducta moral y política. Esta obra debió de extraviarse por cuanto que no se conserva en el Gabinete de Dibujos (Sección de Arquitectura) de la Academia y aparece como inexistente en el Libro de registro de maestros arquitectos, aunque no así su memoria y el estudio económico, hoy conservados en el Archivo de la corporación.

La Junta de la Comisión de Arquitectura celebrada el martes 15 de diciembre de 1840 examinó la obra y los documentos aportados, acordando el pase del pretendiente al resto de los ejercicios de reglamento. Fue admitido en la Junta Ordinaria del 3 de enero de 1841, fecha en la que le sortearon los programas de repente. Le tocaron en suerte los números 2, 28 y 33, los cuales respondieron respectivamente: «Una Casa de Campo y de labranza con las oficinas y comodidades correspondientes al propietario y á tres pares de labor, Graneros, Pajares y corral. Planta, fachada y corte», «Tribunal de comercio con Salon espacioso para comerciantes y litigantes, Sala para el Juzgado y algunas otras piezas para Secretaria, Archivo y para Porteros. Planta y alzados» y «Planta, alzado y perfil geometrico de un templo rotundo de ambito proporcionado para 200 vecinos». De los tres asuntos escogió el nº 28, es decir un Tribunal de comercio (A-1238), cuya elección comunicó a la corporación el 12 de enero.

La Junta de Examen celebrada para examinarle en la clase de maestro arquitecto tuvo lugar la mañana del 28 de enero de 1841, asistiendo a ella los profesores Tiburcio Pérez, José Joaquín de Troconiz, Eugenio de la Cámara y Juan Miguel de Inclán. Cotejada la obra de pensado con la de repente que el interesado explicó una vez entrado en la sala, se procedió a la realización del examen teórico. Machaín comenzó este nuevo ejercicio introduciéndose en los volúmenes en general, sus dimensiones y medidas como en los sólidos inscritos y circunscritos al cilindro y el cono. A continuación midió sectores, casquetes y zonas de esfera por los medios que ofrecían por sí solos y con relación al todo de dicha esfera. Después trató los cuerpos regulares y sus ángulos sólidos como las propiedades que tenían; los ángulos planos, el grafómetro y su uso en el levantamiento de planos; la plancheta y las operaciones prácticas en el terreno; el replanteo de un edificio contraido al de su prueba; la construcción y método de las cimentaciones, además de la elección de los muros y su construcción. Posteriormente explicó cómo daría salida a las aguas en su obra de repente, demostrándolo en la pizarra, para tratar enseguida las sombras y su importancia en la representación que ofrecía el lenguaje artístico, determinando los vuelos y las proyecciones. También explicó los materiales, deteniéndose en la arena y la cal, cuyas propiedades y efectos explicó. Asimismo, la construcción de las diferentes bóvedas y sus cimbras, los arcos y curvas que presentaban, deduciendo su origen de las secciones dadas en la esfera, el cilindro y el cono. Por último, se centró en la construcción y el empleo de las maderas, el asiento y sujeción de las cabezas en los suelos y tirantes, así como en las armaduras.

Satisfechos los examinadores con las obras presentadas, las explicaciones expuestas y las contestaciones dadas a las preguntas formuladas le hallaron con mérito para ostentar el título de maestro arquitecto, grado que le fue concedido en la Junta Ordinaria del 14 de febrero de 1841, a los 25 años de edad, al tiempo que les fue otorgado a José Moreno y Teixeira, Wenceslao Gaviña y Faustino Domínguez Domínguez.