Hijo del teniente director de Arquitectura y académico Manuel Machuca y Vargas, nació en Alcalá de Henares (Madrid) hacia 1779.  Se matriculó como alumno en la Academia de San Fernando en 1794 y dos años más tarde optó al concurso de Premios Generales por la 3ª clase de Arquitectura. Compitió con Juan López Freire, Alfonso Sánchez, Antonio Conde y González, Francisco Javier de Mariátegui, Antonio Celles, Joaquín de San Martín, Manuel Guallar, Manuel Vicente Laca, José Domingo de Lastra, Joaquín García Rojo, José Pectorelli, Francisco Díaz Ruiz y Manuel Arteaga. Al igual que ellos tuvo que elaborar en grande «[...] el Capitel y ornamento Corintio, segun Vignola, demostrando en planta las partes de que consta, con cornisamento, debiendo ser el módulo de quatro dedos» como prueba de pensado (A-5590) y «El pedestal, basa é imposta del orden Dórico» como ejercicio de repente (A-5591). Los programas habían sido elegidos respectivamente en la Junta Ordinaria del 6 de diciembre de 1795 y 3 de julio de 1796.

De los 23 vocales con derecho a voto en la 1ª clase de Arquitectura tuvieron que retirarse cinco de ellos en la 3ª. Los que pudieron votar concedieron el 1º premio a Manuel Machuca Vargas y Mantrana mientras que el 2º a Juan López Freire, galardones que fueron distribuidos el miércoles 13 de julio de 1796 en presencia del infante Príncipe heredero de Parma al no haber podido asistir el Rey por sus muchas ocupaciones.

Tres años mas tarde volvió a presentarse al mismo concurso, en esta ocasión por la 2ª clase de Arquitectura sin obtener galardón alguno. También firmaron la convocatoria Custodio Teodoro Moreno, Cayetano Gallitia, Antonio Conde y González, Francisco de Paula de la Vega, José Delgado, Juan Pérez Juana, Joaquín de San Martín, Francisco Javier de Mariátegui y Manuel Arteaga. Todos los opositores desarrollaron como obra de pensado «Un edificio público para la custodia y venta por mayor [...] de víveres» y como ejercicio de repente «[...] una puerta dórica [...] para entrada de un jardín», programas elegidos respectivamente en las Juntas Ordinarias del 2 de diciembre de 1798 y 30 de junio de 1799.

De los 18 vocales tuvieron que retirarse dos en la 2ª clase por tener un pariente entre los opositores y los 16 con derecho a voto concedieron el 1º premio a Custodio Teodoro Moreno y el 2º a Cayetano Gallitia, galardones que fueron distribuidos en la Junta Pública del 13 de julio de 1799, a las cinco de la tarde.

El 27 de febrero de 1800 Machuca Vargas y Mantrana hizo presente a la Academia su orfandad y total desamparo, dado que su madre había fallecido años antes y su padre quien había servido al Rey durante más de doce años como teniente director le había sobrevenido la muerte en 1799. Solicitaba con ello la concesión de una pensión para poder mantener a sus hermanas y continuar con sus estudios. Para ello expuso tener 21 años, cinco de los cuales había asistido a los estudios de la Academia; haber recibido algún que otro premio de la corporación y hallarse bajo la dirección de Juan Pedro Arnal. La Junta Particular del 2 de marzo de 1800 acordó que la petición pasase a informe de Arnal, profesor que el 26 del mismo mes informó sobre el interesado con las siguientes palabras:  «un joven de buenas esperanzas, muy asistente a mi estudio de Arquitectura, en el que se halla bastante adelantado como tambien en las Matematicas y Dibujo; por cuyas circunstancias le contemplo acreedor ça que la Rl Academia se sirva atender su solicitud, por que me consta que las cortas facultades con que ha quedado por muerte de su Padre casi le imposibilitan la continuación en sus Estudios». Sin embargo, a pesar del informe del profesor la Junta Particular del 4 de mayo le denegó la pensión a Machuca.

En 1802 concurrió de nuevo al concurso de Premios Generales, aunque en esta ocasión por la 1ª clase de Arquitectura. También lo hicieron Miguel de Uría, José Delgado Martín, Juan Pérez Juana, Joaquín de San Martín, José Manuel de Artiega, Fermín Gutiérrez y Cayetano Gallitia. Al igual que el resto de los participantes, Machuca ideó como ejercicio de pensado «[...] un magnífico edificio con destino á casa de Ayuntamiento para esta Corte, con todas las salas para las Juntas públicas y particulares que en ella se celebran, tanto del Ayuntamiento, como de la Sociedad, unas y otras con la debida separación. Se dispondrá en el mismo edificio un salón para Festejos Reales, todas las oficinas correspondientes á su destino, y Cárcel, todo geométrico en planta, fachada y cortes» (del A-2996 al A-2998) y como prueba de repente «Un tabernáculo con mesa de altar y sagrario» (A-5079).

De los 16 vocales que debían votar los ejercicios, no lo hizo Mateo Medina a causa de su parentesco con uno de los opositores. De los quince restantes uno votó a Fermín Gutiérrez, otro a Juan Pérez Juana, otro a Joaquín San Martín, dos a Cayetano Gallitia y diez a Manuel Machuca Vargas y Mantrana, resultado que dio como ganador del 1º premio a Machuca y del 2º a Juan Pérez Juana, galardones que fueron distribuidos en la Junta Pública celebrada el 24 de julio de 1802

El 26 de noviembre de 1805 solicitó de la Academia su admisión a los ejercicios para la clase de maestro arquitecto alegando poseer los conocimientos necesarios de dibujo y matemáticas, como haber opositado a los Premios Generales en 1796, 1799 y 1802. Al mismo tiempo presentó como prueba de pensado el proyecto de Una biblioteca real (del A-736 al A-739) con su informe facultativo y el calculo de su coste que elevaba a 20.199, 212 reales, además de la certificación de su asistencia por espacio de tres años a varias obras bajo la dirección del arquitecto Silvestre Pérez en las que había ejecutado monteas, replanteos y demás operaciones facultativas necesarias en ellas.

En la Junta Ordinaria del 1 de diciembre de 1805 la Academia acordó que el interesado pasase a realizar el resto de los ejercicios de reglamento en vista de la obra y los documentos aportados, momento en que le sortearon los asuntos de repente. Le tocaron en suerte los números 13, 94 y 27, de los cuales escogió el segundo, es decir «En la Planta, Alzado y perfil geométrico de un templo rotundo de ambito proporcionado para doscientos vecinos» (A-4631).

Fue examinado en la Junta Extraordinaria del 5 de diciembre de 1805, junta a la que asistieron los profesores Ferro, Aguado, Cuervo, Pérez, Varas y Bosarte, este último en calidad de secretario.  Cotejadas las pruebas de pensado y de repente se llamó al pretendiente a la sala para formularle algunas preguntas relativas a sus ejercicios como sobre la teoría y práctica de la profesión. Satisfechos los examinadores con las obras ejecutadas y las contestaciones dadas a las preguntas formuladas le hallaron con mérito para ostentar el título de maestro arquitecto, grado que le fue concedido en la Junta Ordinaria del 5 de enero de 1806.