Hijo de Andrés Martínez y Rita Canut nació en Carcagente, Carcaixent (Valencia) el 10 de febrero de 1817, siendo bautizado ese mismo día en la iglesia parroquial de dicha villa. Desde niño se dedicó a la albañilería junto a su padre hasta que cumplidos los 20 años pasó a Madrid para aprender la teórica de la profesión. Se matriculó en dos cursos de Aritmética y Geometría práctica bajo la dirección del arquitecto y académico Custodio Teodoro Moreno, pasando después a la sala de Arquitectura. Ejerció la práctica de oficial de albañil al lado del académico de mérito Lucio de Olarieta, con quien se aplicó entre 1838 y 1843 en el dibujo de arquitectura, los cinco órdenes de arquitectura y la copia de varios dibujos de su maestro al tiempo que inventaba algunos particulares.

El 24 de mayo de 1843 solicitó de la Academia de San Fernando su admisión a los ejercicios para la clase de maestro de obras, presentando como prueba de pensado el proyecto de una Casa de campo para un señor de título (del A-1819 al A-1822) con su informe facultativo y el avance del coste de la obra, las certificaciones de práctica firmadas por Custodio Teodoro y  Lucio de  Olarieta, además de la justificación de su conducta moral y política.

La Junta de la Comisión de Arquitectura celebrada el 23 de junio de 1843 examinó la obra y los documentos aportados, acordando el pase del pretendiente al resto de los ejercicios de reglamento por 5 votos contra 2. Fue admitido en la Junta Ordinaria del 9 de julio, fecha en la que le fueron sorteados los programas de repente. Le tocaron en suerte los números 11, 35 y 32, los cuales respondieron respectivamente: «Proyectar una Sacristía con una pieza para la conservación de alhajas y otra para el aguamanil. Planta y sección», «La disposición de una torre para la Iglesia de un Pueblo. Planta y alzado de su fachada y corte» y «Diseñar una Hermita extramuros de una población con habitación para el sacristán que cuide de ella. Planta, fachada y corte». De los tres programas eligió el nº 32, es decir Una ermita en despoblado con habitación para un cura y un sacristán (A-4055), elección que comunicó a la corporación el 24 de julio.

La Junta de Examen tuvo lugar la mañana del 1 de agosto de 1843, asistiendo a ella los profesores José Joaquín de Troconiz, Antonio Conde y González, Atilano Sanz, Eugenio de la Cámara y Juan Miguel de Inclán. Una vez cotejada la obra de pensado con la de repente se observó que esta última estaba ejecutada con buena inteligencia en lo artístico, sin embargo, Eugenio de la Cámara hizo presente que no era posible que el pretendiente desempeñara las funciones de profesor al no saber escribir con propiedad, motivo que suscitó una larga discusión sobre si la junta podía tomar en consideración este motivo, sobre todo al tratarse de una persona que como oficial práctico y discípulo de la Academia en sus estudios de noche había acreditado sus conocimientos.

A continuación, Martínez Canut entró en la sala y explicó tanto su obra de pensado como su ejercicio de repente, para contestar después las preguntas que le hicieron los examinadores sobre aritmética y geometría. Enseguida se centró en la medida de los sólidos y las figuras irregulares como mixtilíneas. Posteriormente realizó en la pizarra las operaciones aritméticas y geométricas que le propusieron, pasando al replanteo y la traza de una escalera de caracol. Asimismo, explicó los diversos géneros de bóvedas que podían ofrecerse en la construcción, midiendo alguna de ellas en superficie y solidez. Del mismo modo, trazó monteas y la bóveda de arista que explicó desde sus arranques hasta su construcción, además del despiezo de un muro angular de cantería con los diferentes cortes. Por último, dibujó una curva rebajada y sobre ella las bóvedas tabicadas y encamonadas; explicó el empleo y el asiento de las maderas en la obra, figuró una armadura con pendolón, trató las operaciones necesarias que debía preceder a la tasación de una finca y contestó a otras tantas preguntas relativas a la práctica constructiva.

Satisfechos los examinadores con las obras ejecutadas, las explicaciones realizadas y las contestaciones dadas a las preguntas formuladas le hallaron con mérito para ostentar el título de maestro de obras, grado que le fue concedido en la Junta Ordinaria del 20 de agosto de 1843, a los 26 años de edad.

Cinco años más tarde le veremos aspirando a la plaza de inspector de obras públicas en el Ayuntamiento de Gijón, vacante a la que también optaron el vizcaíno José de Echevarría Izarza, natural de Orduña, que presentó el certificado favorable del ayuntamiento de dicha población, como el guipuzcoano Melchor de Arrieta, residente en la calle Preciados, nº 84, 4º izquierda (Madrid), que presentó los certificados suscritos por el arquitecto del Ferrocarril de Aranjuez José Mª Gómez, el visado por Pedro Miranda, ex director general de Caminos, Puertos y Canales, además del certificado del ex jefe político y arquitecto Mariano de Marcoartú Amantegui.

El 20 de octubre de 1848 el Ayuntamiento de Gijón consultó a la Academia sobre cuál era la mejor elección entre estos tres maestros de obras y la designación del que creía el más digno para desempeñarla. La Junta de la Sección de Arquitectura celebrada la noche del martes 14 de noviembre de 1848 quedó enterada del asunto y acordó comunicar al ayuntamiento que de los tres creía más apto a Melchor de Arrieta, sin embargo, hizo presente que según las Reales Cédulas y disposiciones vigentes la plaza debía ser desempeñada por un arquitecto en vista de que los maestros de obras no estaban facultados para obtenerla ni dirigir las obras públicas.

Posteriormente, la Sección de Arquitectura reunida el 28 de octubre de 1852 censuró los planos y el informe facultativo de un teatro que debía construirse en Llerena (Badajoz), los cuales habían sido remitidos por el subsecretario del Ministerio de la Gobernación y estaban firmados por el maestro de obras Martínez y Canut. Tras estudiar el expediente, la Academia acordó en su Junta General celebrada el 31 de ese mismo mes no poder ocuparse de su examen al no estar autorizado dicho maestro de obras para intervenir en esta clase de edificios; además, como el edificio estaba ya comenzado era obligatorio que se hiciese cargo de las obras un arquitecto aprobado.

Su nombre aparece asociado también a la iglesia palentina de San Martín de Fromista, templo que en el siglo XIX se encontraba en proceso de degradación y ruina que hacían necesaria su restauración, la cual correría a cargo a partir de 1874 del arquitecto Aníbal Álvarez. Cuantro años más tarde se encontró una base documental de primer orden conformada por varios informes de los clérigos y Andrés Martínez Canut, quien a instancias del obispo de Palencia había visitado la obra ejecutando el correspondiente estudio de la iglesia y el presupuesto de las reformas que eran necesarias en ella. Observó que las bóvedas de la nave principal y lateral estaban quebradas, algunas pilastras y paredes desplomadas y la escalera en peligro de hundirse. El informe fue remitido a la Comisión de Monumentos junto con un plano de las dos secciones trasversales y el proyecto de reforma, pero las obras de restauración no se acometieron hasta 1883 por problemas económicos.