Hijo de José Joaquín Picabea y María Ana Aguirrezabala de Amezqueta, nació en San Sebastián (Guipúzcoa) el 19 de febrero de 1804, siendo bautizado ese mismo día en la iglesia parroquial de San Vicente. Comenzó sus estudios de dibujo y matemáticas en el Real Seminario de Nobles de Vergara y bajo la dirección del arquitecto director de las obras de reedificación de San Sebastián, Pedro Manuel de Ugartemendía, se ejercitó en la teoría y práctica de la arquitectura tanto en su estudio particular como asistiendo a las obras a su cargo. 

En 1826 se trasladó a Madrid, matriculándose al año siguiente como alumno en la Real Academia de San Fernando. El 6 de julio de 1829 solicitó de la corporación su admisión a los ejercicios para la clase de maestro arquitecto, presentando como prueba de pensado el proyecto de una «Casa-Consejo Real y Supremo de S.M. cuya colocación se supone deverá ser al lado del Convento de la Encarnación, situación propia para el efecto, aplicando la fachada principal á la Plazuela de Oriente», con su informe facultativo y el avance del coste de la obra, la partida de bautismo, la certificación de práctica librada por su profesor Ugartemendía y la justificación de su conducta moral y política.

La Junta de la Comisión de Arquitectura celebrada el 14 de julio de 1832 reconoció la obra y los documentos aportados, acordando el pase del pretendiente al resto de los ejercicios de reglamento. Fue admitido en la Junta Ordinaria del 19 del mismo mes, fecha en que le fueron sorteados los programas de repente. Le tocaron en suerte los números 67, 12 y 122, los cuales respondieron respectivamente: «Un Puente para un Rio cuyo ancho ó alto se supone de 180 pies castellanos: se demostrará por planta, alzado y corte una de sus pilas con el pilotage, zampeado y cimiento, la construccion de sus arcos y cortes canteriles», «Una sala de Juntas publica que pueda servir para la R^l Academia de Sⁿ Fernando. Se demostrará en una planta, fachada y sección» y «Una casa incombustible para un tratante de letras en esta Corte, disponiendo en el piso bajo las oficinas de instituto, y en la pral la habitación proporcionada a un hombre Rico con familia, cuidando que su exterior Arquitectura guarde analogía con su clase. Planta, fachada y corte.” De los tres asuntos eligió el nº 122, elección que comunicó a la Academia el 21 de julio.

La Junta de Examen tuvo lugar el 4 de agosto de 1829, asistiendo a ella como vocales los profesores Juan Antonio Cuervo, Antonio de Varas, Custodio Moreno y Juan Miguel de Inclán, habiendo dado aviso de su imposibilidad de asistir Antonio López Aguado. Cotejada la obra de pensado con la se repente que el interesado explicó una vez entrado en la sala, se procedió a la realización del examen teórico. Picabea principió este nuevo ejercicio contestando a las preguntas que le hicieron los profesores sobre la teoría y práctica de la profesión, pero viendo en el pretendiente «tal embarazo y timidez que aumentado progresivamente en el curso de las muchas y diferentes preguntas que se le hicieron con intento de despachar su aturdimiento, no acertó á contestar aun á las mas sencillas, y que no es posible pudiese ignorar: En tal estado, y habiendosele mandado retirar, no pudiendo la Junta desentenderse de que sean cuales fuesen los conocimientos de este interesado, por mas q^l quisiese deducirlos de la buena inteligencia de sus obras y del conocimiento particular de el mismo, debe siempre corresponder este ejercicio á los demas establecidos por el reglamento», fue reprobado en el examen de preguntas por uniformidad de votos.

La junta consideró oportuno elevar a conocimiento de la Academia lo sucedido por si consideraba suspendido el ejercicio de examen y creía conveniente conceder a Picabea 4 o 6 meses para volverse a examinar. Finalmente, la Junta Ordinaria del 23 de agosto se dictaminó la suspensión del examen de preguntas de este pretendiente y la admisión a nuevo examen cuando el interesado los solicitase. No tardó mucho en requerir su admisión a nuevo examen de preguntas, ya que el 9 de octubre de 1829 lo haría para la primera junta que fuese convocada. Dicha junta se reunió el 23 de noviembre, acudiendo a ella los mismos profesores que la vez anterior, incluido Martín Fernández de Navarrete. Enterada la comisión de los antecedentes de Picabea, este comenzó su ejercicio explicando sus obras de pensado y de repente, para después pasar a ser cuestionado acerca de la división de las escalas, las medidas superficiales y los sólidos; las curvas, el círculo y la elipse, así como el modo práctico de trazar esta última. También sobre el centro de gravedad y las bóvedas; el método de trasladar al papel el plano después de tomar las dimensiones sobre el terreno; la resistencia de las maderas y el empuje de los arcos; las escaleras, la altura de sus peldaños y otras tantas preguntas acerca de la práctica constructiva. Sin embargo, viendo los examinadores que a ninguna pregunta había contestado acertadamente y que carecía de los conocimientos necesarios con los que debía contar un arquitecto, fue suspendido por segunda vez en el examen de preguntas, dictamen que sería aprobado por la Academia en la Junta Ordinaria del 27 de diciembre de 1829.

El 11 de septiembre de 1832 volvió a solicitar de la Academia su admisión a los ejercicios para la misma clase, presentando en esta ocasión como prueba de pensado el proyecto de un Liceo de ciencias naturales para la capital de una nación rica y populosa (del A-293 al A-296) con su correspondiente informe facultativo y el avance del coste de la obra, sin otro documento de los exigidos en vista de que hacía dos años había acreditado tanto su práctica como su conducta moral y política.

La Junta de la Comisión de Arquitectura celebrada el 11 de septiembre de 1832 reconoció la obra y acordó por uniformidad de votos el pase de Picabea al resto de los ejercicios de reglamento. Fue admitido en la Junta Ordinaria del 16 del mismo mes, fecha en la que le sortearon los programas de repente. Le tocaron en suerte los números 6, 75 y 98: «Portico espacioso para un paseo publico de una capital en donde puedan refugiarse y pasear comodamente las personas en ocasión de lluvia repentina, el que dé ingreso á Café, Botillería y Mesas de juego publico. Planta, fachada y sección», «Trazar una carcel incombustible con las salas de Juzgado y oficinas correspondientes: Planta, fachada y cortes geométricos» y «Teniendo presente la Basílica de Jano que describen los comentadores de Vitrubio en sus respectivos lugares, y lo que se deduce de la de Paladio, disponer otra con arreglo á nros usos. Planta, fachada y corte». De los tres asuntos eligió el nº 75, es decir, una Cárcel con juzgado de lo criminal (A-965), elección que comunicó a la corporación el 19 de septiembre.

La Junta de Examen tuvo lugar el 13 de octubre de 1832, asistiendo a ella los profesores Juan Antonio Cuervo, Antonio de Varas, Juan Miguel de Inclán, Custodio Moreno y Martín Fernández Navarrete. Examinadas las obras de pensado y de repente que el interesado explicó una vez entrado en la sala, se pasó a realizar el examen teórico. Se le hicieron algunas preguntas sobre las figuras geométricas, las secciones de los cañones de medio punto y el modo de medir su superficie. También el método de levantar los planos de un terreno y los instrumentos para verificarlo; las tasas de los edificios y los medios para medir las superficies de sus piezas; los desplomos que indican las ruinas de los edificios; las columnas y los arquitrabes; la resistencia de las piedras y las maderas según su colocación para sostener grandes pesos. Por último, las medidas lineales, superficiales y cúbicas, además de su aplicación.

Satisfechos los examinadores con el mérito de las obras ejecutadas y las contestaciones dadas a las preguntas formuladas, le vieron con los conocimientos suficientes para ostentar el título de maestro arquitecto, grado que le fue concedido en la Junta Ordinaria del 4 de noviembre de 1832, a los 28 años de edad.